Примеры анализа свободного колебаний Линейные параметрические цепи Параметрический генератор (параметрон) Анализ колебаний в нелинейных цепях Анализ цепи с туннельным диодом Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях

Курс лекций по физике Колебания и волны

Прохождение сигнала через параметрические цепи первого порядка.

 Напомним, что к параметрическим цепям первого порядка относятся цепи, содержащие один энергоемкий элемент (индуктивность или емкость) и резистивный элемент, причем хотя бы один из элементов цепи является параметрическим. Уравнения, описывающие процессы в такой параметрической цепи, сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка с переменными коэффициентами и имеют следующий вид

  + a(t)*S = f(t) 

 Как известно, такие дифференциальные уравнения, как правило, допускают непосредственное интегрирование и их решение можно представить в квадратурах. Однако очень часто полученное решение нельзя выразить в известных функциях, кроме того, его форма может не соответствовать конечным целям исследования. Например, полученное выражение в замкнутом виде трудно поддается спектральному анализу, проверке на устойчивость и т.д.

 Общий подход к анализу параметрических цепей первого порядка основан на традиционных методах дифференциальных уравнений и заключается в том, что сначала ищется решение однородного уравнения 

  + a(t)*S = 0,

а затем произвольная постоянная С заменяется на С(t), которая определяется после подстановки решения Sсв(t) однородного уравнения в искомое (метод Лагранжа).

 Однако, так как получаемые этим методом решения не всегда удобны для анализа, в радиотехнике разработаны специальные приемы и методы решения указанных уравнений. Наибольший практический интерес представляет анализ параметрических цепей при постоянном и моно гармоническим воздействиям, так как все другие воздействия можно свести к суперпозиции этих воздействий.

 

Пример. В цепи изображенной на рис 2.14 генератор развивает напряжение e(t) = U0 eiωt;

 R(t)  параметрическая емкость меняется по закону

 C(t) = ,  где μ – коэффициент

 e(t) R емкости. Найти закон изменения и определить

спектральный состав тока в цепи.

 

 

 

Пример. Найти установившийся процесс в цепи, содержащей параметрический

 резистор и катушку индуктивности, у которой R(t) =  ( 1 + sn Ωt ) , где sn Ωt – меандровая характеристика sn Ωt =

Ω = , и соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид

 ,

 где введено безразмерное время τ = Ωt, а разложение в обобщенный ряд Фурье   

В соответствии с общей методикой нужно найти вспомогательные формулы

;  выполним вычисления

 

  ,

  ,

Тогда комплексную амплитуду рядов Фурье получаем в виде:

 

представленные интегралы здесь вычисляются и можно найти в любом справочнике

Можно чтобы не вычислять интеграл для нахождения , получить формулы связи  и

 

В первом равенстве делаем замену переменных , тогда

 

Принимая во внимание свойство «нечетных рядов» ; ,

а также то, что интеграл периодической функции, взятый по длине, равной периоду, не зависит от начала отсчета, получаем:

  , где 

 

 для установившегося процесса получаем

   

Суммы, входящие в последние выражения известны, поэтому путем простых преобразований, получаем:

 

 , где

 Из последних выражений как частные случаи следуют решения ряда задач. Например, рассмотрим цепь, в которой резистор R2 выключается с частотой Ω. Пусть к цепи приложено постоянное напряжение Е. Необходимо найти ток протекающий по такой цепи.

. В последних выражениях положим:

Тогда после простых преобразований

  

  

где

  . В последних выражениях положим:

Пример. Ко входу параметрической R – цепи с коэффициентом передачи, рассмотренном в предыдущем примере, предложено гармоническое колебание 

 Уравнение для тока имеет вид R i + i(τ) dτ = e(t) .

Процессы в параметрической колебательной системе с обной степенью свободы. Энергетическое рассотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы.


Схема параметрического генератора