Примеры анализа свободного колебаний Линейные параметрические цепи Параметрический генератор (параметрон) Анализ колебаний в нелинейных цепях Анализ цепи с туннельным диодом Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях

Курс лекций по физике Колебания и волны

Метод медленно меняющихся амплитуд (МММА).

 Вывод укороченных уравнений.

  МММА применяется для анализа нелинейных уравнений, достаточно близких к линейным. Достаточно близкими к линейным, обычно называются колебания, для которых соответствующие дифференциальные уравнения хотя и являются нелинейными, но содержат некоторый параметр ε, входящий в эти уравнения так, что при нулевом значении ε они вырождаются в линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. При этом предполагается, что параметр ε является «малым».

 Представим себе, что система настолько близка к линейной, что колебания в течение одного периода имеют форму, весьма близкую к гармонической. Если рассматривать эти колебания на большом интервале времени, по сравнению с периодом колебания, то уже существенно будет проявляться влияние даже малых отклонений системы от линейной, выражающееся в наличии малых нелинейных слагаемых, в дифференциальных уравнениях. Таким образом, малые нелинейные члены могут оказывать как бы коммулятивное действие.

  Совершенно естественно, что наиболее доступными для исследования являются колебания системы с малой нелинейностью, поскольку к ним в той или иной форме можно применять метод возмущений.

 Исследование систем с большой нелинейностью является с математической точки зрения весьма трудной проблемой, требующей индивидуального подхода в каждом конкретном случае.

 В настоящее время существует целый ряд методов позволяющих исследовать системы с одной степенью свободы при малых нелинейностях. В общем виде, такие системы описываются дифференциальными уравнениями следующего вида:

  

 Если удается выделить малый параметр, то уравнение удается преобразовать к виду:

  .

 В теории колебаний используется ряд методов основанных на малом параметре при нелинейной части дифференциальных уравнений 2го и более высоких порядков. Это метод возмещений Пуанкаре, метод медленно меняющихся амплитуд Ван-дер-Поля, метод амплитудной плоскости (метод Андронова-Витта), метод Боголюбова-Крылова, асимптотический метод Боголюбова-Митропольского и другие.

  Рассмотрим один из них – МММА. Данный метод так же, как и МГЛ, применим в тех случаях, когда возникающее колебание близко по форме к гармоническому, что обычно имеет место при использовании в автогенераторах, контура с достаточно высокой избирательностью.

 Уравнение, описывающее процессы в таких системах, может быть записано в виде:

 , (1)

или в безразмерных переменных оно имеет вид:

 

переходя от анализа одного дифференциального уравнения относительно одной переменной, к анализу системы двух уравнений относительно двух переменных:

  (2)

 Если параметр ε равен 0, то решение уравнения (2) имеет вид:

  (3)

где А и φ – произвольные постоянные.

  В методе медленно меняющихся амплитуд решение системы уравнений (1) ищем в виде выражений, отличающихся от (3) тем, что амплитуда А и фаза φ считаются некоторыми функциями времени А(τ) и φ(τ). Тогда

  (4)

Подставляя (3) и (4) в (2), получаем:

   

 Решение этих уравнений относительно  и  дает:

  (5)

 Правые части этих уравнений являются функциями времени (α = τ – φ ), с периодом 2π, что позволяет разложить их в ряд Фурье:

 (6)

  Коэффициенты рядов Фурье оказываются функциями амплитуд А. Поскольку до сих пор никаких ограничений на зависимость А(τ) и φ(τ) не накладывалось, уравнения (5) являются столь же точными, как и (2) или (1). Теперь примем во внимание, что при наличии малого параметра амплитуда А и фаза φ могут изменяться только медленно, т.е. на малую величину за период 2π. Поэтому при этом можно принять, что в пределах одного периода изменения А и φ происходят с постоянными средними скоростями, соответствующими первым слагаемым рядов Фурье, стоящими в правых частях уравнений (6). Результаты такого усреднения правых частей уравнений (6) получаем в виде:

  (7)

где:  (8)

 Уравнения (7) называются укороченными, т.к. они получаются в результате отбрасывания ряда слагаемых уравнения (6) или уравнениями медленно меняющихся амплитуд и фаз, поскольку они справедливы в тех случаях, когда А и φ медленно (мало) меняются за период колебаний. Из (7) следует, что в процессе установления колебаний, т.е. при изменении амплитуды А, происходит изменение и величины . Следовательно, во время этого процесса мгновенная частота колебаний ω/ , определяемая как

 ω/ =  

также меняется.

Метод гармонической линеаризации (МГЛ). Метод МГЛ применим для исследования, как свободных, так и вынужденных колебаний в нелинейных цепях (системах).

Методы малого параметра. Метод последовательных приближений. Уже в прошлом столетии существовал математический аппарат, который при надлежащем развитии и обобщении мог бы быть применим для исследования нелинейных колебаний, во всяком случае, для колебаний, достаточно близких к линейным. Достаточно близкими к линейным обычно называются колебания, для которых соответствующее дифференциальное уравнение хотя и является нелинейным, но содержит некоторый параметр ε, входящий в это уравнение так, что при равенстве нулю этого параметра, нелинейное дифференциальное уравнение, вырождается в линейное с постоянными коэффициентами.

Метод  малого параметра. Исследование МММА колебаний в автогенераторе на туннельном диоде. Среди нелинейных дифференциальных уравнений в теории колебаний особую роль играет уравнение Ван-дер-Поля 


Схема параметрического генератора