Примеры анализа свободного колебаний Линейные параметрические цепи Параметрический генератор (параметрон) Анализ колебаний в нелинейных цепях Анализ цепи с туннельным диодом Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях

Курс лекций по физике Колебания и волны

Проиллюстрируем один из вариантов метода фазовой плоскости на примере анализа цепи с туннельным диодом.

Система уравнений имеет вид

 (для контура 1)

  (для узла 1)

Подставляя второе уравнение в первое получим

Аппроксимируем φ(u) рядом

Пусть рабочая точка на характеристике выбрана на середине падающего участка, а U0 –постоянная составляющая, соответствующая выбранной рабочей точке. Обозначим -переменную составляющую.

Тогда . Учитывая, что  и обозначая  запишем уравнение цепи в виде


Введем безразмерное время τ:  и приведём уравнение к виду

Перейдём к уравнениям, позволяющим определить координаты особых точек. Обозначим

,  тогда из последнего уравнения получаем:

Делим второе уравнение на первое и тогда получим уравнение вида

которое описывает все интегральные кривые на фазовой плоскости величин   и y.

Особые точки на фазовой плоскости удовлетворяют уравнениям

  (т.е все особые точки в рассматриваемом случае располагаются на оси абсцисс )

,

откуда с учётом того, что y=0, получаем

  или 

Т.е. одна особая точка располагает в начале системы координат y1=0; =0. Для определения координат остальных особых точек следует решить уравнение вида

Пусть, например ,

тогда  - (знакомый по предыдущим параграфам вид аппроксимирующего полинома)

Следовательно, уравнение для координат особых точек примет вид

Откуда находим, что  , причём для существования этих особых точек необходимо, чтобы >0.

 Фазовые портреты для случая <0 и >0

 Таким образам на фазовой плоскости имеются три особые точки. Первая с координатами  существует при любых параметрах цепи, вторая и третья с координатами  и   существуют при условии, что >0, т.е. R2 > R1диф.

 

 На следующем этапе необходимо определить типы найденных особых точек.

 Пренебрегая слагаемыми 2ого порядка малости  в окрестности первой особой точки (в окрестности 0) запишем уравнение ( ) в виде

Если эта особая точка единственная, т.е. <0, тогда >0 и точка является: либо центром , либо устойчивым фокусом или узлом (>), либо неустойчивым фокусом или узлом(<). В последнем случае для неустойчивой особой точки на фазовой плоскости обязан существовать предельный цикл, поскольку вследствие конечности энергии источника амплитуда колебаний не может достигать бесконечно больших значений.

Фазовый портрет для этого случая представлен на рисунке. Именно этот случай рассматривался в предыдущих трёх параграфах. Причём раскачке колебаний соответствует область вблизи 0, установившимся колебаниям соответствует предельный цикл, который будет устойчивым.

Возвращаясь к исходному уравнению

Рассмотрим интегральных кривых в окрестностях и  особых точек 

;

Положим  и получим

Учитывая, что  получаем

Замечаем ,что по условию существования корней

Следовательно первая особая точка обязательно седло, вторая и точки третья особые точки обязательно не седла. При  это устойчивый фокус или узел. Сепаратрисса, порожденная седлом, разделяет фазовую плоскость на 2 области притяжения к устойчивым особым точкам 2 и 3.

 В этих точках дифференциальное сопротивление отрицательно и следовательно может быть < 0.

 

 

 

Сравним полученные результаты с результатами полученными ранее:

а) В методе линеаризации мы получили, что рабочая точка по постоянному току устойчива когда . Замечая ,что , обнаруживаем совпадение критериев устойчивости. Причем метод фазовой плоскости указывает, что произойдет в цепи при выполнение условия

б) В методе линеаризации было получено условие устойчивости колебаний в окрестности устойчивой рабочей точки >. В методе фазовой плоскости с учётом , условие устойчивости >, совпадает с >.

в) Методом гармонической линеаризации были рассмотрены стационарные колебания (для случая ). На фазовой плоскости этим колебаниям соответствует предельный цикл.

г) Метод медленно меняющихся амплитуд позволил получить решение, включавшее в себя результаты как МЛ так и МГЛ внутри цикла.

 

 Метод фазовой плоскости – графический метод, позволяющий качественно исследовать колебания в цепях, описываемые дифференциальными уравнениями 2го порядка. Существует несколько вариантов методов фазовой плоскости, применяемые в зависимости от постановки задачи.

Метод изоклин

Особая точка – устойчивый фокус


Схема параметрического генератора