Начертательная геометрия Задачи и примеры

Позиционные задачи – это задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга.

Прямая линия по отношению к плоскости может занимать следующие положения: принадлежать плоскости; быть параллельной данной плоскости; пересекать эту плоскость.

Пересечение прямой с поверхностью (многогранной и кривой). Снова рассмотрим несколько типов задач.

Параллельность плоскостей Если две плоскости параллельны, то всегда в каждой из них можно построить по две пересекающиеся прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости

Пересечение плоскости и поверхности, определение натуры сечения Плоские сечения многогранных и кривых поверхностей представляют собой замкнутые фигуры.

Пересечение многогранников

Линия пересечения двух поверхностей, называемая линией перехода, это такая линия, все точки которой одновременно принадлежат обеим поверхностям. В общем случае она представляет собой пространственную кривую или ломаную линию (при пересечении многогранных поверхностей), которая может распадаться на две или более частей. В отдельных случаях эти части могут быть плоскими кривыми или многоугольниками.

Пример. Построить линию пересечения полуцилиндра конусом вращения. На виде спереди линия пересечения уже имеется - она совпадает с вырожденным видом полуцилиндра и находится в пределах площади наложения обеих поверхностей.

Способ концентрических сфер Предварительно скажем несколько слов о пересечении соосных поверхностей, т.е. поверхностей, имеющих общую ось вращения.

Различают прямые и обратные позиционные задачи:

прямые – задачи на взаимопринадлежность (построение точки на линии или поверхности, проведение линии на поверхности или поверхности через заданные линии, задачи на пересечение);

обратные – в которых определяется взаимное расположение точек, линий, плоскостей.

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК

Рассмотрим возможные варианты взаимного расположения двух точек (рисунок 7-1).

а) б) в) г)

 А=В А А=В А

 ∆Н

 В В

  ∆р

 В А 

 А=В А=В А ∆f В

 

 Рисунок 7-1

 

а) две точки в пространстве могут либо совпадать, либо не совпадать. Если две точки совпадают, то на видах спереди и сверху их проекции совпадают (рисунок 7-1а).

Если же точки не совпадают, то их проекции не совпадают либо на виде спереди (7-1б), либо на виде сверху (7-1в), либо на двух видах одновременно (7-1г).


б) Точки, которые совпадают на виде сверху (на горизонтальной проекции) называют горизонтально-конкурирующими. На рисунке7-1б точка А находится выше точки В и точно над ней, поэтому на виде спереди обе точки видимы, а на виде сверху видна точка А, имеющая большую высоту.

  в) Точки, которые совпадают на виде спереди (на фронтальной проекции) называют фронтально-конкурирующими. На виде сверху обе точки видимы, а на виде спереди видна та из них, что ближе к наблюдателю, т.е. точка А.

г) По рисунку 7-1г определяем, что точка А выше точки В на величинуΔН; по виду сверху отмечаем, что от наблюдателя точка А дальше точки В на величину Δf ; на обоих видах определяется, что точка А левее точки В на величину Δр.

20. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ

Точка может находиться либо на прямой, либо вне её.

а) Если точка находится на прямой, тогда на основании свойства принадлежности её проекции будут принадлежать проекциям прямой – точка А (рисунок 7-2);

б) Если же точка расположена вне прямой, то тогда хотя бы на одном из видов точка не будет находиться на прямой:

точка В на виде сверху не лежит на прямой l, а находится ближе, чем фронтально-конкурирующая с ней точка, отмеченная крестиком; следовательно точка В находится перед прямой l;

точка С, как это следует из вида спереди, находится ниже прямой l, т.к. она расположена ниже горизонтально-конкурирующей с ней точки, отмеченной крестиком и лежащей на прямой;

анализируя положение точки D относительно прямой l, приходим к выводу, что точка D находится над прямой l, что определяется по положению точки D на виде спереди. По виду сверху отмечаем, что точка D находится за прямой l.

Определить взаимное положение точки и прямой профильного положения р по двум видам не представляется возможным, т.к. такая прямая на видах спереди и сверху совпадает с линиями связи по направлению (рисунок 7-3).


Получить ответ можно с помощью построения профильной проекции (вида слева).

Подпись: Рисунок 7-3Так по виду слева определяем, что т. М находится перед прямой (Δf) и над ней (ΔН), т.к. она лежит ближе фронтально-конкурирующей и выше горизонтально -конкурирующих точек, отмеченных крестиками.

Точка N находится ниже (под) прямой l и за (дальше) неё.

 

 

 

 

 

 

 

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ

Может быть два варианта:

точка находится в плоскости;

точка находится вне плоскости.

Точка находится в плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой этой плоскости.

Следовательно, чтобы построить точку на плоскости, необходимо сначала на этой плоскости построить произвольную прямую линию (или взять уже имеющуюся) и на ней взять точку.

21.1 Плоскость частного положения

Если точка находится в плоскости частного положения (наклонной, вертикальной, профильно-проецирующей), то построение ее облегчается. В этом случае точка на одном из видов будет находиться на изображении плоскости, а на другом виде положение ее может быть произвольным (рисунок 7-4). Здесь показана т. А принадлежащая наклонной плоскости Б, т.к. на виде спереди она находится на прямой, являющейся изображением плоскости; а на виде сверху положение точки взято на линии связи произвольно.

Точка В находится под плоскостью, т.к. она лежит ниже отмеченной крестиком точки, с которой она горизонтально конкурирует,


21.2 Плоскость общего положения

Несколько сложнее построить на комплексном чертеже точку, принадлежащую плоскости общего положения.

Пусть задана плоскость Б(ΔАВС), (рисунок 7-5). Чтобы построить на чертеже какую-нибудь точку лежащую в плоскости Б, проведена произвольная прямая l явно принадлежащая плоскости (т.к. проходит через две точки плоскости А и 1). Затем на этой прямой взята т. М (свойство принадлежности).

Рассмотрим обратную задачу. Пусть заданы два вида точки N. Нужно определить положение т. N относительно плоскости.

Для решения этой задачи нужно на плоскости провести вспомогательную прямую, конкурирующую с данной точкой на любом из видов (например на виде спереди, как на рисунке 7-5) и определить взаимное положение данной точки N и прямой.

Итак, проведем фронтально-конкурирующую с точкой N прямую m, положение которой определено точками плоскости А и 2. По глубине точки N определяем, что она находится перед прямой l и, следовательно, перед плоскостью.

Поскольку плоскость Б - нисходящая (определяем по разным направлениям обхода на видах), и, учитывая, что т. N находится перед плоскостью, то она в то же время будет находиться и под плоскостью.

 

 

 

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ

Прямые в пространстве могут:

совпадать;

пересекаться;

быть параллельными;

скрещиваться.

Две прямые являются совпадающими, если на видах спереди< и сверху они сливаются (рисунок 7-6а).

Пересекающиеся прямые имеют общую точку – К, изображение которой на видах спереди и сверху расположены на одной линии связи (рисунок 7-6б).

Проекции пересекающихся прямых на одном из видов могут совпадать (рисунок 7-6в), такие прямые называются конкурирующими. Так как здесь они совпадают на виде сверху (на горизонтальной проекции), то в данном случае это горизонтально - конкурирующие прямые.

Если прямые а и Ь параллельны, то на основании свойства параллельного проецирования их одноименные проекции будут параллельны (рисунок 7-7а).

Проекции параллельных прямых на одном из видов могут совпадать, в этом случае прямые называются конкурирующими параллельными прямыми. На рисунке 7-7б изображены фронтально-конкурирующие прямые а и Ь, т.к. их изображения совпадают на виде спереди.

а) б) в)

< Взаимное положение конкурирующих прямых определяют по тому виду, на котором их изображения не совпадают.

Скрещивающиеся прямые - это такие прямые, которые не пересекаются и не параллельны друг другу (рисунок 7-7в). Если параллельные и пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости (задают плоскость), то скрещивающиеся прямые в одной плоскости не лежат. Кажущиеся точки пересечения прямых 1 и 2, 3 и 4 будут попарно конкурирующими; у них совпадает только одна из одноименных проекций: т.т.1 и 2 - конкурируют на виде спереди, т.т.3 и 4 - конкурируют на виде сверху.

Итак, - взаимное положение прямых общего положения определяется по двум видам заданных прямых.

22.1 Прямые профильного положения

Иначе обстоит дело с прямыми профильного положения. Для определения взаимного положения этих прямых следует построить вид слева.

Рассмотрим взаимное положение двух профильных прямых р1(АВ) и р2(СD), (рисунок 7-8).

Так как это фронтально-конкурирующие прямые, они лежат в одной плоскости профильного положения, и могут или совпадать, или быть параллельными, или пересекаться.

Построим вид слева, для чего выберем положение базы отсчета глубин (их не хватает для построения, т.к. высоты точек на виде слева сохраняются).

Замерив глубины точек А, В, С, D от базы на виде сверху, откладываем полученные величины на соответствующих горизонтальных линиях связи от базы отсчета на виде слева.

Построив точки, и соединив их должным образом, приходим к выводу, что прямые p1 и р2 пересекаются в точке К. Найдя её на виде слева, строим точку К и на двух других видах.

 

 

 

 


На главную