Начертательная геометрия Задачи и примеры

Кривые линии на комплексном чертеже

Понятие о кривой линии Линии играют большую роль в науке и технике. Они позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удаётся решить многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию громоздкого математического аппарата. Кроме самостоятельного значения, линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм.

  Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Элементами многогранника являются вершины, ребра и грани. Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Правильным называется многогранник, грани которого являются правильным многоугольником. Всего существует пять правильных выпуклых многогранников, которые первым исследовал и описал Платон, живший в V – IV веках до н.э. Поэтому эти многогранники называют также «Платоновы тела».

Поверхности являются самым сложным геометрическим объектом, изучаемым начертательной геометрией и инженерной графикой. Мир поверхностей безграничен. Он простирается от простейшей плоскости до причудливых поверхностей, используемых в архитектуре и скульптуре, от элементарного цилиндра до сложнейших по форме деталей авиадвигателя и т.п. Все, что нас окружает дома, машины, люди и т.д. – принадлежит к миру поверхностей. Поверхности в нашей жизни играют очень важную роль, особенно для инженера-конструк­тора, который должен знать и уметь, как сконструировать поверхность, чтобы она отвечала заранее заданным требованиям. А эта задача весьма трудоемка и часто бывает нелегко найти правильное решение. Рассмотрим некоторые общие вопросы образования и задания поверхностей, которые необходимо знать проектировщику при решении практических задач.

Графический способ задания поверхностей предполагает задание поверхности на комплексном чертеже. При этом, как уже было сказано выше, поверхность считается заданной, а ее чертеж – метрически определенным, если по одной проекции точки, лежащей на поверхности, можно построить другую ее проекцию. Чаще всего поверхность задается на чертеже проекциями элементов своего определителя, т.е. тех геометрических объектов, с помощью которых поверхность была образована.

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная в процессе вращения некоторой линии вокруг неподвижной оси. Линия, которая вращается, называется образующей поверхности. Образующая линия может быть прямой, плоской или пространственной кривой. Каждая точка образующей линии поверхности (например, точка В) при своём вращении будет описывать окружность с центром на оси i, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис.10.1). Такие окружности называются параллелями. Наибольшая параллель называется экватором, наименьшая – горлом

Поверхности вращения, образованные окружностью

В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям на комплексном чертеже. Положение точки, описывающей при своём движении некоторую кривую, определяется в любой момент движения двумя её проекциями. Поэтому в общем случае для полного графического задания кривой линии на комплексном чертеже необходимо задать две проекции этой линии (как правило, обе проекции являются кривыми линиями). В частном случае (когда кривая плоская) одна из проекций кривой может быть прямой линией.

Как на чертеже отличить плоскую кривую от пространственной? У плоской кривой любая пара хорд является пересекающимися прямыми, а у пространственной кривой эти хорды скрещиваются. Поэтому на заданной кривой (рис.7.5) необходимо взять четыре произвольные точки и соединить их попарно. Получатся две хорды. Затем нужно определить, какие это хорды – пересекающиеся или скрещивающиеся прямые? В данном случае хорды оказались скрещивающимися прямыми, а значит, заданная кривая является пространственной.

Рис.7.5

3. Цилиндрическая винтовая линия

  Как уже было отмечено выше, любая пространственная кривая на комплексном чертеже вполне определяется двумя своим проекциями. В качестве примера пространственной линии рассмотрим цилиндрическую винтовую линию, которая образуется в процессе движения точки, совершающей вращательное движение вокруг оси и поступательное движение вдоль оси. Расстояние h, на которое перемещается точка за один оборот вокруг оси, называется шагом винтовой линии. Если точка, перемещаясь вверх, вращается против часовой стрелки – цилиндрическая винтовая линия называется правой. В противном случае цилиндрическая винтовая линия называется левой. Цилиндрическая винтовая линия относится к геодезическим линиям. Кроме неё геодезическими линиями также являются прямая на плоскости, окружность большого круга на сфере и др.

  Построим комплексный чертёж цилиндрической винтовой линии и её развёртку (рис.7.6).

Рис.7.6. Комплексный чертёж и развёртка цилиндрической винтовой линии

 Пусть точка А вращается вокруг фронтально проецирующей оси i и перемещается вдоль неё. Направление вращения на плоскости П1 обозначено стрелкой. В процессе вращения точки А её горизонтальная проекция А1 будет перемещаться по окружности радиусом r, равным расстоянию от точки А1 до точки i1. Разделим эту окружность на 8 секторов. Кроме того, разделим на 8 частей шаг цилиндрической винтовой линии h. И через полученные точки проведём вспомогательные горизонтальные линии. После этого можно приступать к построению проекций цилиндрической винтовой линии.

 Пусть точка А повернётся вокруг оси i на 1/8 часть окружности и займёт положение А11. Фронтальная проекция точки А также переместится вверх на 1/8 часть шага. Чтобы найти положение точки А12, необходимо через точку А11 провести вертикальную линию связи до её пересечения с первой вспомогательной горизонтальной линией. Построение остальных точек проекций цилиндрической винтовой линии выполняется аналогично и сводится к повороту горизонтальной проекции точки А на 1/8 часть окружности и перемещению фронтальной проекции точки вверх на 1/8 часть шага. Построения выполняются до тех пор, пока точка А не совершит полный оборот вокруг оси и не переместиться вдоль оси на величину шага. После этого найденные фронтальные проекции точек соединяются плавной линией с помощью лекала. По форме фронтальная проекция цилиндрической винтовой линии будет являться синусоидой. Горизонтальная проекция цилиндрической винтовой линии является окружностью.

 Как было отмечено выше, цилиндрическая винтовая линия относится к геодезическим линиям. Это значит, что на развертке поверхности такая линия будет изображаться в виде прямой линии. Чтобы убедиться в этом, построим развертку цилиндрической винтовой линии. Для этого необходимо сначала развернуть направляющий цилиндр, радиусом r и высотой h, на поверхности которого располагается винтовая линия. Как известно, развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник, длина которого равна длине окружности основания цилиндра (т.е. 2πr), а высота равна шагу винтовой линии h. Разделим основание развёртки цилиндра на 8 равных частей. Эти части соответствуют 8 секторам, на которые разделена окружность основания цилиндра на плоскости П1. Начальная точка А развертки цилиндрической винтовой линии располагается в левом нижнем углу прямоугольника. При повороте точки по окружности на 1/8 часть она перемещается вверх на 1/8 часть высоты развертки. При следующем повороте на 1/8 часть окружности точка на развёртке также переместиться вверх на 1/8 часть высоты и т.д. Когда точка выполнит полный оборот, соответствующая ей точка на развёртке достигнет верхнего правого угла, а все промежуточные положения точки расположатся на диагонали прямоугольника развертки.

 Цилиндрическая винтовая линия широко используется в качестве базовой линии при образовании винтовых поверхностей различных резьб, винтовых спусков, лестниц, пружинах и т.п.


На главную