Начертательная геометрия Задачи и примеры

Способ эксцентрических секущих сфер

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении прямой линии в пространстве по какому-либо закону. Характер движения прямолинейной образующей определяет вид линейчатой поверхности. Обычно закон движения образующей задаётся с помощью направляющих линий. В общем случае для задания линейчатой поверхности необходимы три направляющие линии. Выделим на линейчатой поверхности три какие-нибудь линии a, b и c и примем их за направляющие.

  Если линейчатая поверхность задана с помощью одной направляющей линии, вместо недостающих двух направляющих необходимо задать два условия, которые должна выполнять прямолинейная образующая при своем движении. В зависимости от условий линейчатые поверхности с одной направляющей делятся на следующие виды: цилиндрическая поверхность общего вида – образующая пересекает направляющую и остаётся параллельной заданному направлению; коническая поверхность общего вида – образующая пересекает направляющую и проходит через фиксированную точку пространства, называемую вершиной конической поверхности; торс (поверхность с ребром возврата) – образующая при своём движении остаётся касательной к направляющей.

Нелинейчатой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении кривой линии в пространстве по какому-либо закону. Вид нелинейчатой поверхности определяется формой образующей линии и характером её движения.

Способ вспомогательных секущих сфер Использование сферы в качестве вспомогательной секущей поверхности основано на свойстве сферы пересекаться с соосной с ней поверхностью вращения по окружностям. Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось. Две соосные поверхности вращения пересекаются друг с другом по окружностям, причем число окружностей равно числу точек пересечения меридианов таких поверхностей

Сечение поверхности плоскостью Линия, которая получается от пересечения поверхности с плоскостью, является плоской кривой, лежащей в секущей плоскости. Чтобы построить проекции этой линии на чертеже, находят проекции ее отдельных точек и, соединяя одноименные проекции точек плавными кривыми (по лекалу), получают проекции искомой линии.

Построение линии пересечения двух плоскостей Как известно, две плоскости пересекаются по прямой линии. Прямая определяется двумя точками. Поэтому для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно построить две её точки. А для этого нужно провести две вспомогательные плоскости.

Рассмотрим два примера на построение точек пересечения линии с поверхностью. Пример. Построить точку пересечения кривой линии n с конической поверхностью Φ(a, S). Сначала нужно построить каркас образующих заданной линейчатой поверхности

 При этом способе вспомогательные сферы проводят из разных центров. Для того чтобы можно было воспользоваться этим способом, должны выполняться следующие условия.

  1. Обе пересекающиеся поверхности должны нести на себе семейство окружностей.

  2. Пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.

  Сущность способа рассмотрим на примере построения линии пересечения прямого кругового усечённого конуса с открытым тором (рис.13.5).

Рис.13.5

 Поверхности заданы так, что образующая окружность открытого тора совпадает с окружностью нижнего основания конуса. Проверим соблюдение условий применения способа эксцентрических сфер. У конуса семейство окружностей расположено в плоскостях, перпендикулярных оси вращения конуса (семейство параллелей). У открытого тора два семейства окружностей. Первое семейство – образующие окружности в плоскостях, проходящих через ось тора. Второе семейство – параллели тора, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения тора. Общая плоскость симметрии, в которой расположены главные меридианы поверхностей, является фронтальной плоскостью уровня. Таким образом, условия выполняются.

 Найдём опорные точки линии пересечения поверхностей. Ими являются точки А и В пересечения главных меридианов конуса и тора. Кроме того, окружность нижнего основания конуса, совпадающая с направляющей окружностью тора, является общей для обеих поверхностей, а, значит, является одной из ветвей линии пересечения.

 В отличие от способа концентрических сфер в данном способе отсутствуют понятия сфер минимального и максимального радиусов. Вместо них можно говорить о зоне линии пересечения, которая определяется сектором тора между опорными точками А и В.

Для каждой вспомогательной сферы нужно определить её центр и радиус, которые заранее неизвестны. Поэтому сначала в зоне линии пересечения выбирают положение образующей окружности тора, по которой его должна пересекать вспомогательная сфера. Центр такой сферы должен лежать на перпендикуляре к плоскости окружности, проведенном через центр окружности. Для того чтобы вспомогательная сфера также пересекала и заданный усеченный конус по образующей окружности, её центр должен лежать на оси конуса. Значит, искомый центр вспомогательной сферы нужно расположить в точке пересечения оси конуса и перпендикуляра к плоскости образующей окружности тора, т.е. в точке О. Тогда радиус сферы определится расстоянием от найденного центра до любой крайней точки выбранной образующей окружности тора. После этого можно проводить вспомогательную сферу и находить окружность её пересечения с конусом. Построенная окружность и выбранная образующая окружность тора будут пересекаться между собой в точках C и D, как лежащие на одной и той же вспомогательной сфере. Эти точки принадлежат искомой линии пересечения конуса и тора. После нахождения фронтальных проекций C2 и D2 находятся их горизонтальные проекции. Для этого нужно провести горизонтальную проекцию параллели конуса, на которой лежат точки, и расположить на ней их горизонтальные проекции.

Для нахождения других точек линии пересечения нужно провести ещё несколько вспомогательных сфер и выполнить аналогичные построения. Все найденные точки искомой линии пересечения соединяются между собой плавной линией по лекалу с учетом видимости.

5. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка

В случае пересечения двух поверхностей второго порядка линией пересечения является кривая четвертого порядка, так как порядок линии пересечения равен произведению порядков поверхностей. В частных случаях эта линия может распадаться, причем особый интерес представляет случай ее распадения на пару плоских кривых второго порядка. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной кривой, которая тоже является плоской.

Заметим, что всякая плоская кривая на поверхности второго порядка есть кривая второго порядка, и тогда справедливость данной теоремы непосредственно вытекает из того обстоятельства, в силу которого сумма порядков линий, на которые распадается алгебраическая кривая, равна порядку самой линии. В данном случае имеем кривую четвертого порядка и известно, что одна ее часть есть кривая второго порядка. Следовательно, и вторая часть тоже будет кривой второго порядка, т.е. плоской кривой.

Рассмотрим теорему, известную как теорема Г.Монжа, имеющую большое практическое значение.

Теорема. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Рассмотрим несколько примеров. На рис.13.6 изображены фронтальные проекции пересекающихся круговых цилиндров, удовлетворяющих условию последней теоремы. Линиями пересечения таких цилиндров будут эллипсы, фронтальные проекции которых изображаются прямыми A2С2 и B2D2. На рис.13.7 показано пересечение прямых круговых конуса и цилиндра, описанных около сферы. Линиями пересечения и здесь будут два эллипса, изображающихся во фронтальной проекции прямыми A2С2 и B2D2.

Рис.13.6 Рис.13.7


На главную