Начертательная геометрия Задачи и примеры

Развёртки поверхностей

Построение приближенных разверток развертывающихся линейчатых поверхностей Для развертывающихся линейчатых поверхностей строят приближенные развертки потому, что в процессе построения развертки заданную поверхность заменяют (аппроксимируют) вписанной в неё или описанной вокруг неё многогранной поверхностью (цилиндрические поверхности заменяют призмами, конические поверхности – пирамидами).

Представим поверхность в виде тонкой и гибкой, но нерастяжимой пленки. В этом случае некоторые поверхности можно постепенным изгибанием совместить с плоскостью так, что при этом не возникает ни разрывов, ни складок. Поверхности, обладающие этим свойством, называются развертывающимися, а фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью – разверткой данной поверхности.

Построение разверток является важной технической задачей, так как в промышленности широко применяются разнообразные изделия, выполненные из листового материала путем изгибания (сосуды, трубопроводы, швейные изделия и др.).

Если рассматривать поверхность и ее развертку как точечные множества, то между этими двумя множествами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Значит, каждой точке на поверхности соответствует единственная точка развертки, каждой линии на поверхности соответствует линия на развертке и наоборот. Указанное взаимно однозначное соответствие обладает следующими свойствами.

1. При развертывании поверхности на плоскость длины линий, лежащих на ней, сохраняются.

2. Углы, образованные линиями на развертке, и углы между соответствующими линиями на поверхности равны.

3. Замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь. Из этого следует, что площадь развертки равна площади самой поверхности.

4. Прямой на поверхности соответствует прямая на развертке.

5. Параллельным прямым на поверхности соответствуют параллельные прямые на развертке.

Линия между двумя точками развертываемой поверхности, соответствующая прямой на ее развертке, является кратчайшей линией между этими точками. Такие линии называются геодезическими.

В курсе дифференциальной геометрии доказывается, что развертываемыми поверхностями являются многогранники и следующие линейчатые поверхности: цилиндры, конусы и торсы. Все остальные поверхности неразвертываемые.

2. Классификация разверток поверхностей

 В начертательной геометрии развертки поверхностей делятся на:

точные – развертки многогранников и прямых круговых цилиндров и конусов, если параметры разверток рассчитывались по формулам;

приближенные – развертки развертывающихся линейчатых поверхностей;

условные – развертки неразвертывающихся поверхностей.

3. Построение точных разверток многогранников

 Для построения разверток многогранников применяются следующие способы:

нормального сечения – для призм;

раскатки – для призм;

триангуляции (треугольников) – для любого многогранника.

Рассмотрим первый и третий способы более подробно.

Способ нормального сечения

 Сущность данного способа построения развертки призмы заключается в следующем. Заданную призму пересекают плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам, и строят проекции и натуральную величину сечения призмы этой плоскостью (нормальное сечение). Также необходимо определить натуральную величину отрезков боковых рёбер призмы, лежащих выше и ниже нормального сечения. Далее на свободном поле чертежа проводят горизонтальную линию и на ней от произвольной точки откладывают друг за другом стороны нормального сечения призмы. Через полученные точки проводят вертикальные прямые линии, на которых вниз откладывают натуральные величины отрезков боковых рёбер призмы, лежащих ниже нормального сечения, а вверх – натуральные величины отрезков боковых рёбер призмы, лежащих выше нормального сечения. Соединив построенные точки между собой отрезками прямых, получим развертку боковой поверхности призмы. Добавив к ней натуральные величины верхнего и нижнего оснований, получим полную развертку поверхности призмы.

 На рис.14.1 показано построение развертки призмы АВСА'B'C' способом нормального сечения.

Рис.14.1

Для построения на развёртке точки D, лежащей на поверхности призмы, сначала через заданную проекцию D2 на грани АВКL призмы проводят вспомогательную прямую, пересекающую нормальное сечение в точке 4. Находят проекцию 44 на натуральной величине нормального сечения, а также натуральную величину отрезка 4D. Затем на прямой m развёртки призмы на отрезке 12 откладывают натуральную величину отрезка 14 и через полученную точку проводят вертикальную линию. На этой линии и будет лежать искомая точка D на расстоянии 4D от прямой m.

Способ триангуляции (треугольников)

Этот способ позволяет строить развёртки любого многогранника. Для этого боковые грани многогранника разбиваются диагоналями на треугольники (для призм и призматоидов, у пирамид грани уже треугольные). Одним из известных способов необходимо найти натуральные величины всех боковых ребер и оснований многогранника.

Рис.14.2

Затем на свободном поле чертежа последовательно друг к другу строятся треугольники боковых граней многогранника (по трём сторонам). Получают развёртку боковой поверхности многогранника. Дополнив её основаниями, можно получить полную развертку многогранника.

На рис.14.2 показано построение развёртки пирамиды SABC. Натуральная величина боковых рёбер пирамиды находится по правилу прямоугольного треугольника. Так как у всех боковых рёбер одинаковая разность высот, прямоугольные треугольники удобно строить на плоскости П2, приняв за первый катет отрезок S2O, который равен разности высот концов боковых рёбер пирамиды. Тогда в качестве второго катета необходимо откладывать отрезки, равные горизонтальным проекциям боковых рёбер. После нахождения натуральных величин всех рёбер пирамиды приступают к построению развёртки. Также на рис.14.2 показано построение на развёртке точки L, лежащей на поверхности пирамиды. Для этого проведена вспомогательная прямая SK, проходящая через точку L. Затем на развёртке сначала строится эта прямая SK, а затем и точка L.


На главную